Пружинный маятник
В этом tutorial рассмотрим простой базовый пример — пружинный маятник с вязким демпфированием.
На его основе можно познакомиться с основными принципами работы в PRADIS и понять общий процесс создания модели.
В ходе примера мы:
- создадим простую модель
- добавим основные элементы
- зададим параметры
- запустим расчёт
- посмотрим результаты
- проверим, что модель работает корректно
Как выглядит рабочая область PRADIS
Пример
Пружинный маятник — хороший стартовый пример, потому что модель получается достаточно простой, но при этом показывает полный рабочий цикл моделирования в PRADIS.
После прохождения tutorial пользователь должен понимать:
- как создаётся модель в PRADIS
- как соединяются элементы
- где задаются параметры
- как запускать расчёт
- как анализировать результат
- как проверять корректность модели
Этот пример рекомендуется выполнять самостоятельно шаг за шагом, а не просто просматривать.
Лучший способ освоить PRADIS — повторять действия и сразу смотреть, как изменение параметров влияет на поведение модели.
Из библиотеки “Линейная механика 1D” выбираем необходимые компоненты:
- Масса -
M1D - Пружина -
K - Демпфер -
MU - Начальное смещение -
SN
Из библиотеки “Базовые модели” выбираем следующие компоненты:
- Динамический анализ -
Dynamic - Выходные переменные -
DISP - Индикатор перемещения в узле -
X - Закрепление -
Ground
Перемещаем на рабочую область и соединяем между собой.
Получаем модель следующего вида:
Далее расставляем параметры для каждого компонента.
Двойной ЛКМ открывает панель параметра для каждого компонента.
Задаем следующие параметры:
- начальное смещение:
x0 = 2 м - начальная скорость:
v0 = 0 м/с - масса:
m = 1 кг - коэффициент жесткости пружины:
k = 1 Н/м - коэффициент вязкости:
c = 0.2 Н·с/м
Аналогично задаем параметры для оставшихся компонентов.
Далее в компоненте Dynamic задаем параметры анализа.
Ставим расчетное время 15 секунд, и меняем Метод интегрирования на Newmark.
Далее в компоненте DISP выбираем наш индикатор X.
Запускаем на расчет. Для этого нажмем на кнопку “Моделирование”.
Получаем результат.
Теперь проверим наш результат математическим расчетом.
1. Уравнение движения
Для затухающего пружинного маятника используется уравнение:
где:
- mx¨ — инерция тела,
- cx˙ — сила вязкого сопротивления,
- kx — сила упругости пружины.
Подставим значения:
Получаем:
2. Собственная частота системы
Без учета демпфирования собственная круговая частота равна:
Подставляем значения:
Это частота идеального маятника без сопротивления.
3. Коэффициент затухания
Коэффициент затухания определяется как:
Подставляем:
Так как:
то система совершает затухающие колебания.
4. Частота затухающих колебаний
Из-за сопротивления среды реальная частота становится немного меньше:
Подставим значения:
5. Период колебаний
Период связан с частотой формулой:
Подставляем:
Это означает, что маятник совершает одно полное колебание примерно за 6.3 секунды.
6. Закон изменения перемещения
Для затухающего движения решение имеет вид:
После подстановки начальных условий получаем:
7. Скорость тела
Скорость — это производная от координаты:
После вычисления:
Скорость также затухает по экспоненте.
8. Затухание амплитуды
Амплитуда уменьшается по закону:
Например, через один период:
То есть после одного полного колебания остаётся примерно:
от первоначальной амплитуды.
Вывод:
Из расчета в PRADIS видим,что значение амплитуды, периода колебаний и скорости тела совпадают.