Модель системы гашения колебаний с PID-регулятором

Kristina_Kretsu · 29.Июнь.2026 15:46:37

Назначение модели

Данная модель предназначена для исследования работы PID-регулятора в задаче активного гашения колебаний механической системы.

В модели рассматривается одномассовая механическая система, состоящая из массы, упругой связи и вязкой связи. В начальный момент времени массе задается смещение относительно положения равновесия. После этого система начинает совершать колебательное движение.

PID-регулятор используется для формирования дополнительного управляющего усилия, которое действует как балансирующее тормозное воздействие. За счет этого колебания массы быстрее затухают, а система быстрее возвращается к положению равновесия.

Схема модели

Рисунок 1 — Схема модели системы гашения колебаний с PID-регулятором.

Модель состоит из механической части и системы управления.

Механическая часть включает:

элемент массы M1D ;
упругую связь K ;
вязкую связь MU ;
источник начального смещения SN .

Система управления включает:

PID-регулятор PID ;
источник управляющей силы USF1D ;
датчик перемещения SNSRX1D ;
датчик скорости SNSRV1D ;
датчик силы SNSRF1D .

Датчик перемещения измеряет текущее положение массы. Это значение поступает в контур управления. PID-регулятор сравнивает текущее перемещение с требуемым положением и формирует управляющее воздействие. Далее это воздействие передается на источник силы, который прикладывает к механической системе компенсирующее усилие.

Таким образом, модель представляет собой замкнутую систему автоматического управления, в которой по перемещению объекта формируется сила, направленная на подавление колебаний.

Параметры модели

В расчете используются следующие параметры механической системы:

m = 1\ \text{кг}

где:

m — масса элемента M1D .

k = 100\ \text{Н/м}

где:

k — коэффициент жесткости упругой связи K .

\mu = 1\ \text{Н}\cdot\text{с}/\text{м}

где:

\mu — коэффициент вязкости демпфирующего элемента MU .

Начальное смещение задается элементом SN :

x_0 = 1\ \text{м}

где:

x_0 — начальное смещение массы относительно положения равновесия.

Для PID-регулятора заданы следующие коэффициенты:

K_p = 5

K_i = 100

K_d = 10

где:

K_p — коэффициент пропорционального усиления;
K_i — коэффициент интегрального усиления;
K_d — коэффициент дифференциального усиления.

Принцип работы модели

В начальный момент времени массе задается смещение. Из-за этого в упругой связи возникает сила, стремящаяся вернуть массу в положение равновесия. Масса начинает двигаться и совершать колебания.

Без активного управления колебания гасятся только за счет вязкой связи. Такой процесс может быть достаточно длительным: масса несколько раз проходит через положение равновесия, а амплитуда колебаний уменьшается постепенно.

При подключении PID-регулятора система начинает работать иначе. Регулятор получает информацию о текущем перемещении массы и вычисляет ошибку регулирования:

e(t)=x_{\text{зад}}-x(t)

где:

e(t) — ошибка регулирования;
x_{\text{зад}} — заданное положение;
x(t) — текущее перемещение массы.

На основании ошибки PID-регулятор формирует управляющее воздействие:

F(t)=K_p e(t)+K_i\int_0^t e(\tau),d\tau+K_d\frac{de(t)}{dt}

где:

F(t) — управляющая сила;
K_p e(t) — пропорциональная составляющая;
K_i\displaystyle\int_0^t e(\tau),d\tau) — интегральная составляющая;
K_d\dfrac{de(t)}{dt} — дифференциальная составляющая.

Полученная сила прикладывается к массе через источник силы USF1D1 . Эта сила работает как дополнительное активное демпфирование: она противодействует отклонению и движению массы, уменьшая амплитуду колебаний.

Движение механической системы можно описать уравнением:

m\frac{d^2x}{dt^2}=F-kx-\mu\frac{dx}{dt}

где:

m — масса объекта;
x — перемещение массы;
\dfrac{d^2x}{dt^2} — ускорение массы;
F — управляющая сила от PID-регулятора;
k — коэффициент жесткости;
\mu — коэффициент вязкого демпфирования;
kx — сила упругости;
\mu\dfrac{dx}{dt} — сила вязкого сопротивления.

Расчет без PID-регулятора

Рисунок 2 — Результат расчета перемещения массы без PID-регулятора.

При расчете без PID-регулятора система ведет себя как обычная пассивная колебательная система. После начального смещения масса начинает двигаться под действием силы упругости. Вязкая связь постепенно рассеивает энергию, поэтому амплитуда колебаний уменьшается.

На графике видно, что колебания затухают медленно. Масса несколько раз проходит через положение равновесия, а переходный процесс занимает значительное время.

Такой результат показывает, что одного пассивного демпфирования недостаточно для быстрого подавления колебаний.

Расчет с PID-регулятором

Рисунок 3 — Результат расчета перемещения массы с PID-регулятором.

После подключения PID-регулятора характер движения системы меняется. Регулятор начинает формировать дополнительное управляющее усилие, которое направлено на уменьшение отклонения массы и подавление колебаний.

На графике видно, что амплитуда колебаний становится меньше, а система быстрее выходит к положению равновесия. Количество колебаний сокращается, переходный процесс становится короче и более устойчивым.

PID-регулятор фактически создает балансирующее тормозное усилие. Оно компенсирует движение массы и помогает быстрее погасить колебательный процесс.

Сравнение результатов расчета

Сравнение двух расчетов показывает, что применение PID-регулятора заметно улучшает поведение системы.

Без PID-регулятора:

колебания имеют большую амплитуду;
система долго приходит к равновесию;
затухание происходит только за счет вязкой связи;
переходный процесс длительный;
управление движением отсутствует.

С PID-регулятором:

амплитуда колебаний уменьшается;
время переходного процесса сокращается;
система быстрее стабилизируется;
управляющая сила активно гасит колебания;
движение становится более контролируемым.