7. Вязкие элементы
7.1. MU
Назначение
Линейный демпфер.
Рисунок 7.1 — Компонент MU в библиотеке «Линейная механика 1D».
Обозначение
Компонент моделирует вязкое сопротивление, возникающее при относительном движении двух механически связанных узлов.
Описание
Элемент создает усилие, пропорциональное относительной скорости перемещения между соединенными степенями свободы. Демпфер не накапливает энергию, а рассеивает её, преобразуя механическую энергию движения в тепло или другие виды потерь.
Компонент используется для моделирования вязкого трения, гидравлических и пневматических демпферов, а также других устройств, в которых сила сопротивления зависит от скорости движения.
Пользовательские параметры модели
| Параметр | Тип | Описание | Значение по умолчанию |
|---|---|---|---|
| Mu | base.real | Коэффициент вязкости, Н·с/м | 1,0 |
Физическая модель
Усилие демпфера определяется выражением:
F = \mu \cdot v
где:
- F — усилие вязкого сопротивления;
- \mu — коэффициент вязкости;
- v — относительная скорость между соединенными узлами.
Сила демпфирования всегда направлена противоположно относительной скорости движения и препятствует изменению взаимного положения связанных степеней свободы.
7.2. MUV
Назначение
Управляемый демпфер.
Рисунок 7.2 — Компонент MUV в библиотеке «Линейная механика 1D».
Обозначение
Компонент моделирует вязкий элемент с изменяемым коэффициентом демпфирования, значение которого определяется внешним управляющим сигналом.
Описание
Элемент создает усилие вязкого сопротивления, пропорциональное относительной скорости движения между соединенными узлами. Коэффициент вязкости формируется на основе постоянной составляющей и входного управляющего сигнала.
Компонент используется для моделирования управляемых демпферов, адаптивных систем виброзащиты, регулируемых амортизаторов и других устройств, в которых величина демпфирования изменяется в процессе работы.
Пользовательские параметры модели
| Параметр | Тип | Описание | Значение по умолчанию |
|---|---|---|---|
| K | real | Коэффициент масштабирования входного сигнала | 1,0 |
| Mus | real | Постоянное значение вязкости, Н·с/м | 0,0 |
Физическая модель
Текущий коэффициент вязкости определяется выражением:
\mu = \mu_s + K \cdot S
где:
- \mu — текущий коэффициент вязкости;
- \mu_s — постоянная составляющая вязкости;
- K — коэффициент масштабирования сигнала;
- S — значение управляющего сигнала.
Усилие демпфирования рассчитывается по закону вязкого сопротивления:
F = \mu \cdot v
где:
- F — усилие вязкого сопротивления;
- v — относительная скорость между узлами.
Сила демпфирования направлена противоположно относительной скорости движения и обеспечивает рассеивание механической энергии в системе.
7.3. MUNL
Назначение
Нелинейный демпфер.
Рисунок 7.3 — Компонент MUNL в библиотеке «Линейная механика 1D».
Обозначение
Компонент моделирует вязкое сопротивление, величина которого нелинейно зависит от относительной скорости движения между соединенными узлами.
Описание
Элемент создает усилие сопротивления, пропорциональное квадрату относительной скорости. Такая модель широко применяется для описания аэродинамического и гидродинамического сопротивления, а также других процессов, в которых сила сопротивления возрастает нелинейно с увеличением скорости движения.
В отличие от линейного демпфера, величина сопротивления возрастает быстрее при увеличении скорости, что позволяет более точно моделировать реальные диссипативные процессы.
Пользовательские параметры модели
| Параметр | Тип | Описание | Значение по умолчанию |
|---|---|---|---|
| V | base.real | Коэффициент пропорциональности между квадратом скорости и усилием, Н·с²/м²; Н·м·с²/радиан² | 1,0 |
Физическая модель
Усилие сопротивления определяется выражением:
F = V \cdot |v| \cdot v
где:
- F — усилие сопротивления;
- V — коэффициент нелинейного демпфирования;
- v — относительная скорость между соединенными узлами.
Такая запись обеспечивает направление силы, противоположное направлению движения, при сохранении квадратичной зависимости её величины от скорости:
|F| = V \cdot v^2
Компонент применяется для моделирования сопротивления среды, аэродинамических и гидродинамических потерь, а также других нелинейных диссипативных процессов.
7.4. SV1MUT
Назначение
Демпфер с табличной зависимостью усилия от скорости.
Рисунок 7.4 — Компонент SV1MUT в библиотеке «Линейная механика 1D».
Обозначение
Компонент представляет собой вязкую связь, в которой зависимость усилия от относительной скорости задается пользователем в виде таблицы значений.
Описание
Элемент формирует усилие сопротивления на основании табличной характеристики «скорость–усилие». Значение силы определяется интерполяцией между заданными точками таблицы, что позволяет моделировать произвольные нелинейные законы демпфирования.
Компонент применяется для описания демпферов со сложными характеристиками, полученными экспериментально или заданными в виде набора дискретных значений. Может использоваться для моделирования гидравлических амортизаторов, фрикционных устройств и других элементов, у которых сила сопротивления нелинейно зависит от скорости движения.
Пользовательские параметры модели
| Параметр | Тип | Описание | Значение по умолчанию |
|---|---|---|---|
| Table | base.Diagram | Табличная зависимость силы от скорости, (м/с, Н)… N точек | 0, 0, 1, 1 |
Физическая модель
Усилие в элементе определяется по заданной пользователем характеристике:
F = f(v)
где:
- F — усилие вязкого сопротивления;
- v — относительная скорость между соединенными узлами;
- f(v) — таблично заданная функция зависимости усилия от скорости.
Значения между узловыми точками таблицы вычисляются методом линейной интерполяции. Компонент позволяет задавать как линейные, так и произвольные нелинейные характеристики демпфирования, соответствующие реальным свойствам моделируемого объекта.
8. Элементы трения
8.1. KP
Назначение
Идеальная упруго-пластическая связь.
Рисунок 8.1 — Компонент KP в библиотеке «Линейная механика 1D».
Обозначение
Компонент моделирует идеальную упруго-пластическую связь между двумя степенями свободы. Также может использоваться для описания сухого трения при постоянной силе нормального давления и неизменном коэффициенте трения.
Описание
Если деформация элемента не превышает предельного значения, соответствующего переходу в пластическое состояние, усилие определяется законом Гука и пропорционально деформации.
После достижения предельного усилия элемент переходит в пластическое состояние и далее развивает постоянное усилие, не зависящее от величины деформации. Такое поведение соответствует модели идеального упруго-пластического материала без упрочнения.
Компонент может применяться для моделирования сухого трения, ограничителей усилия, предохранительных элементов и других механических устройств с упруго-пластической характеристикой.
Пользовательские параметры модели
| Параметр | Тип | Описание | Значение по умолчанию |
|---|---|---|---|
| F | base.real | Усилие пластической деформации (усилие трения) | 1,0 |
| K | base.real | Коэффициент жесткости на упругом участке | 1,0 |
Физическая модель
На упругом участке усилие определяется выражением:
P = K \cdot x
где:
- P — усилие в элементе;
- K — коэффициент жесткости;
- x — относительная деформация.
Переход в пластическое состояние происходит при достижении условия:
|P| = F
где F — усилие пластической деформации.
После перехода в пластическое состояние усилие сохраняет постоянное значение:
P = \pm F
при этом знак усилия определяется направлением деформации.
Характеристика элемента имеет вид идеальной упруго-пластической зависимости: линейный упругий участок сменяется горизонтальным участком пластического течения с постоянным усилием.
8.2. KPU
Назначение
Управляемая упруго-пластическая связь.
Рисунок 8.2 — Компонент KPU в библиотеке «Линейная механика 1D».
Обозначение
Компонент моделирует упруго-пластическую связь с регулируемым уровнем силы трения. Предельное усилие определяется внешним управляющим сигналом, что позволяет описывать управляемые фрикционные устройства и механизмы сухого трения.
Описание
При малых относительных перемещениях элемент работает как упругая связь с высокой касательной жесткостью, моделирующей упругие деформации контактного слоя. Пока сила в элементе не достигнет предельного значения, определяемого управляющим сигналом, связь находится в состоянии сцепления.
После достижения предельного усилия происходит переход к режиму скольжения, при котором сила трения сохраняет постоянное значение, пропорциональное управляющему сигналу. Таким образом реализуется модель сухого трения с управляемой нормальной нагрузкой.
Компонент может использоваться для моделирования фрикционных муфт, тормозных устройств, регулируемых демпферов сухого трения и других систем с изменяемым коэффициентом сцепления.
Пользовательские параметры модели
| Параметр | Тип | Описание | Значение по умолчанию |
|---|---|---|---|
| K | base.real | Коэффициент касательной жесткости упругого слоя, Н/м | 1e6 |
| Ktr | base.real | Коэффициент трения, Н/единицу сигнала | 0,4 |
Физическая модель
На участке сцепления усилие определяется законом упругой связи:
P = K \cdot x
где:
- P — сила трения;
- K — касательная жесткость контактного слоя;
- x — относительное смещение.
Предельное усилие трения определяется управляющим сигналом:
P_{\max} = K_{tr} \cdot S
где:
- P_{max} — максимальная сила трения;
- K_{tr} — коэффициент трения;
- S — значение управляющего сигнала.
При выполнении условия
|P| \geq P_{\max}
элемент переходит в режим скольжения, и сила трения ограничивается величиной
P = \pm P_{\max}
где знак определяется направлением относительного движения.
Таким образом, компонент реализует модель сухого трения с управляемым уровнем предельного усилия.
8.3. KPUC
Трение сухое управляемое нормальной силой (с зазором)
Рисунок 8.3 — Компонент KPUC в библиотеке «Линейная механика 1D».
Обозначение
Компонент предназначен для моделирования сухого трения между двумя поверхностями, сила которого определяется нормальной силой контакта. Нормальная сила формируется через отдельный механический порт, задающий движение прижима трущихся поверхностей.
Компонент учитывает наличие зазора между поверхностями. При отсутствии контакта сила трения не возникает.
Назначение
Моделирование сухого трения между двумя механическими объектами с управляемой нормальной нагрузкой и возможностью размыкания контакта.
Описание
Компонент реализует модель сухого трения Кулона между двумя поверхностями. Относительное движение поверхностей задается через механические порты Node1 и Node2.
Порт Node3 используется для формирования нормальной силы контакта. При сближении поверхностей возникает упругая реакция, определяемая коэффициентом нормальной жесткости. Величина силы трения зависит от текущей нормальной силы и коэффициента трения.
В области сцепления контакт работает как упругая связь с конечной касательной жесткостью. Когда касательное усилие достигает предельного значения, определяемого законом Кулона, происходит переход к режиму скольжения.
Если поверхности расходятся и контакт исчезает, нормальная сила становится равной нулю, а вместе с ней исчезает и сила трения.
Компонент может использоваться для моделирования тормозных механизмов, фрикционных муфт, направляющих, кулачковых механизмов и других устройств, работающих за счет сухого трения.
Порты
| № | Обозначение порта | Тип | Наименование порта |
|---|---|---|---|
| 1 | Node1 | base.DOF1 | Механический порт 1 движения первой фрикционной поверхности |
| 2 | Node2 | base.DOF1 | Механический порт 2 движения второй фрикционной поверхности |
| 3 | Node3 | base.DOF1 | Механический порт 3, задающий движение прижима трущихся поверхностей |
Пользовательские параметры модели
| № | Параметр | Тип | Описание | Значение по умолчанию |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Kn | base.real | Коэффициент нормальной жесткости упругого слоя, Н/м | 1e6 |
| 2 | Kt | base.real | Коэффициент касательной жесткости упругого слоя, Н/м | 1e6 |
| 3 | Ktr | base.real | Коэффициент трения, Н/единицы сигнала | 0.4 |
Физическая модель
Нормальная сила контакта определяется деформацией упругого слоя:
N = \begin{cases} K_n \cdot \delta_n, & \delta_n > 0 \\ 0, & \delta_n \leq 0 \end{cases}
где:
- N — нормальная сила контакта;
- K_n — коэффициент нормальной жесткости;
- \delta_n — деформация контактного слоя в нормальном направлении.
Предельная сила трения вычисляется по закону Кулона:
F_{\max} = K_{tr} \cdot N
где:
- F_{\max} — предельная сила трения;
- K_{tr} — коэффициент трения;
- N — нормальная сила контакта.
На участке сцепления касательная сила определяется упругой деформацией:
F_t = K_t \cdot \delta_t
где:
- F_t — касательная сила;
- K_t — коэффициент касательной жесткости;
- \delta_t — накопленная касательная деформация.
Режим сцепления выполняется при условии
|F_t| < F_{\max}
При достижении предельной силы трения
|F_t| \geq F_{\max}
контакт переходит в режим скольжения, а сила трения ограничивается значением
F_t = \pm F_{\max}
Знак силы определяется направлением относительного движения поверхностей.
При отсутствии контакта
N=0
что приводит к отсутствию сил трения:
F_t = 0
8.4. KPUX
Трение сухое управляемое нормальной силой (с зазором)
Рисунок 8.4 — Компонент KPUX в библиотеке «Линейная механика 1D».
Обозначение
Компонент предназначен для моделирования сухого трения между двумя поверхностями с управляемой нормальной силой контакта. В отличие от компонента KPUC, модель учитывает наличие начального зазора между трущимися поверхностями, который должен быть выбран до возникновения контактных реакций и силы трения.
Назначение
Моделирование сухого трения между двумя механическими объектами с управляемой нормальной нагрузкой и учетом начального зазора между контактирующими поверхностями.
Описание
Компонент реализует модель сухого трения Кулона между двумя поверхностями. Относительное движение поверхностей определяется механическими портами Port1 и Port2.
Механический порт Port3 используется для задания перемещения прижима, формирующего нормальную силу контакта. Пока величина перемещения прижима меньше заданного зазора, контакт между поверхностями отсутствует и сила трения не возникает.
После выбора зазора возникает контактное взаимодействие. Нормальная сила определяется деформацией контактного слоя и коэффициентом нормальной жесткости. Максимально допустимая сила трения пропорциональна текущей нормальной силе и коэффициенту трения.
В области сцепления контакт работает как упругая связь с конечной касательной жесткостью. При превышении предельного значения силы трения происходит переход к режиму скольжения.
Компонент может использоваться для моделирования тормозных механизмов, фрикционных муфт, кулачковых устройств, механизмов с регулируемым прижимом и других систем, в которых необходимо учитывать момент замыкания контакта.
Порты
| № | Обозначение порта | Тип | Наименование порта |
|---|---|---|---|
| 1 | Port1 | base.DOF1 | 1D механический порт, механический порт 1 движения первой фрикционной поверхности |
| 2 | Port2 | base.DOF1 | 1D механический порт, механический порт 2 движения второй фрикционной поверхности |
| 3 | Port3 | base.DOF1 | 1D механический порт, механический порт 3, задающий движение прижима трущихся поверхностей |
Пользовательские параметры модели
| № | Параметр | Тип | Описание | Значение по умолчанию |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Kn | base.real | Коэффициент нормальной жесткости упругого слоя, Н/м; | 1e6 |
| 2 | Kt | base.real | Коэффициент касательной жесткости упругого слоя, Н/м | 1e6 |
| 3 | Ktr | base.real | Коэффициент трения, Н/единицы сигнала | 0.4 |
| 4 | Z | base.real | Зазор в положительном направлении смещения прижима, м | 0.01 |
Физическая модель
Контакт между поверхностями возникает только после выбора зазора:
\delta_n = x_3 - Z
где:
- x_3 — перемещение порта прижима;
- Z — величина зазора;
- \delta_n — контактная деформация.
Нормальная сила определяется выражением
N = \begin{cases} K_n(x_3 - Z), & x_3 > Z \\ 0, & x_3 \leq Z \end{cases}
где:
- N — нормальная сила контакта;
- K_n — коэффициент нормальной жесткости.
Максимальная сила трения определяется законом Кулона:
F_{\max} = K_{tr} \cdot N
где:
- F_{\max} — предельная сила трения;
- K_{tr} — коэффициент трения.
В режиме сцепления касательная сила определяется деформацией контактного слоя:
F_t = K_t \cdot \delta_t
где:
- F_t — касательная сила;
- K_t — коэффициент касательной жесткости;
- \delta_t — накопленная касательная деформация.
Условие сцепления:
|F_t| < F_{\max}
При достижении предельной силы
|F_t| \geq F_{\max}
происходит переход в режим скольжения, а сила трения ограничивается значением
F_t = \pm F_{\max}
Знак силы определяется направлением относительного движения поверхностей.
При невыполнении условия контакта
x_3 \leq Z
нормальная сила отсутствует:
N=0
и, соответственно,
F_t=0
9. Контактные элементы
9.1. HRP
Одномерный храповик со свободным прямым ходом и линейной жесткостью при обратном ходе
Рисунок 9.1 — Компонент HRP в библиотеке «Линейная механика 1D».
Обозначение
Компонент моделирует одностороннюю механическую связь, допускающую свободное относительное перемещение в одном направлении и создающую упругое сопротивление при движении в противоположном направлении.
Назначение
Моделирование храпового механизма, обеспечивающего свободный прямой ход и ограничение обратного перемещения посредством линейной упругой связи.
Описание
Компонент представляет собой идеализированную модель одномерного храповика. При движении в направлении прямого хода связь не создает механического сопротивления и не передает усилия между соединенными объектами.
При изменении направления движения и возникновении обратного хода храповой механизм замыкается и начинает передавать усилие между механическими портами. Передаваемое усилие определяется величиной относительного перемещения и коэффициентом жесткости.
Таким образом, элемент работает как односторонняя пружина: в одном направлении связь отсутствует, а в противоположном направлении возникает линейная упругая реакция.
Компонент может использоваться для моделирования храповых механизмов, стопоров обратного хода, обгонных устройств, односторонних муфт и других механизмов с направленной передачей усилия.
Порты
| № | Обозначение порта | Тип | Наименование порта |
|---|---|---|---|
| 1 | Port1 | base.DOF1 | 1D механический порт, механический порт 1 прямого хода |
| 2 | Port2 | base.DOF1 | 1D механический порт, механический порт 2 обратного хода |
Пользовательские параметры модели
| № | Параметр | Тип | Описание | Значение по умолчанию |
|---|---|---|---|---|
| 1 | K | base.real | Коэффициент жесткости, Н/м | 1.0 |
Физическая модель
Относительное перемещение между портами определяется выражением
\Delta x = x_1 - x_2
где:
- x_1 — перемещение порта Port1;
- x_2 — перемещение порта Port2.
В режиме прямого хода усилие отсутствует:
F=0
если движение происходит в разрешенном направлении.
При возникновении обратного хода включается упругая связь, и передаваемое усилие определяется законом Гука:
F = K \cdot \Delta x
где:
- F — сила реакции храповика;
- K — коэффициент жесткости;
- \Delta x — относительное смещение в направлении блокировки.
Таким образом,
F = \begin{cases} 0, & \text{прямой ход} \\ K \cdot \Delta x, & \text{обратный ход} \end{cases}
9.2. UPRL
Одномерное упругое контактное взаимодействие между двумя телами
Рисунок 9.2 — Компонент UPRL в библиотеке «Линейная механика 1D».
Обозначение
Компонент предназначен для моделирования одностороннего упругого контакта между двумя телами. Контактная сила возникает только при сближении тел после выбора начального зазора и отсутствует при их разъединении.
Назначение
Моделирование контактного взаимодействия между двумя механическими объектами с учетом начального зазора и упругой деформации контактной зоны.
Описание
Компонент реализует модель упругого контакта между двумя телами в одномерной постановке.
До момента соприкосновения тел контактные силы отсутствуют. Контакт возникает при уменьшении расстояния между телами до величины начального зазора. После замыкания контакта появляется реакция, пропорциональная величине взаимного проникновения тел и коэффициенту контактной жесткости.
Модель допускает передачу только сжимающих усилий. При размыкании контакта сила взаимодействия мгновенно становится равной нулю.
Компонент может использоваться для моделирования ударов, ограничителей перемещения, упоров, буферов, контактных пар механизмов и других задач, связанных с взаимодействием твердых тел.
Порты
| № | Обозначение порта | Тип | Наименование порта |
|---|---|---|---|
| 1 | Port1 | base.DOF1 | 1D механический порт, узел1 |
| 2 | Port2 | base.DOF1 | 1D механический порт, узел2 |
Пользовательские параметры модели
| № | Параметр | Тип | Описание | Значение по умолчанию |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Delta | base.real | Начальная величина зазора. За положительное принимается направление от порта с точкой к порту без точки, м | 0.0 |
| 2 | K | base.real | Контактная жесткость, Н/м | 1e6 |
Физическая модель
Относительное перемещение между телами определяется выражением
\Delta x = x_2 - x_1
где:
- x_1 — перемещение узла Port1;
- x_2 — перемещение узла Port2.
Контактная деформация вычисляется как
\delta = \Delta x - Delta
где:
- \delta — деформация контактной зоны;
- Delta — начальный зазор между телами.
При отсутствии контакта
\delta \leq 0
контактная сила равна нулю:
F=0
После замыкания контакта
\delta > 0
возникает упругая реакция:
F = K \cdot \delta
где:
- F — контактная сила;
- K — контактная жесткость;
- \delta — величина деформации контактной зоны.
Итоговая зависимость имеет вид
F = \begin{cases} 0, & \delta \leq 0 \\ K \cdot \delta, & \delta > 0 \end{cases}
Контактная сила действует только на сжатие и не допускает передачи растягивающих усилий.
9.3. UPRPC
Одномерный зазор с упруго-пластической характеристикой контакта и разрушением
Рисунок 9.3 — Компонент UPRPC в библиотеке «Линейная механика 1D».
Обозначение
Компонент предназначен для моделирования контактного взаимодействия между двумя телами с учетом начального зазора, упругой и пластической деформации контактной зоны, а также возможности полного разрушения контакта при достижении предельной деформации.
Назначение
Моделирование контактов, работающих по упруго-пластическому закону деформирования и теряющих несущую способность после достижения критического уровня деформации.
Описание
Компонент реализует одномерный контакт между двумя телами с начальными зазором. После замыкания зазора контакт работает как линейно-упругий элемент до достижения предельного усилия текучести. При дальнейшем нагружении начинается пластическое деформирование контактной зоны.
Если суммарная деформация контакта достигает заданного предельного значения разрушения, контакт считается разрушенным и перестает передавать усилия между телами.
Модель может использоваться для описания упоров, демпфирующих элементов, предохранительных устройств, разрушаемых соединений, энергоемких элементов пассивной безопасности и других механических систем, в которых необходимо учитывать процессы пластического деформирования и разрушения.
Порты
| № | Обозначение порта | Тип | Наименование порта |
|---|---|---|---|
| 1 | Port1 | base.DOF1 | 1D механический порт, узел1 |
| 2 | Port2 | base.DOF1 | 1D механический порт, узел2 |
Пользовательские параметры модели
| № | Параметр | Тип | Описание | Значение по умолчанию |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Break | base.real | Предельное значение деформации элемента перед разрушением, м | 10.0 |
| 2 | Delta | base.real | Начальная величина зазора. За положительное принимается направление от порта с точкой к порту без точки, м | 0.0 |
| 3 | Fyield | base.real | Усилие (момент) перехода элемента в пластическое состояние, Н | 1.0 |
| 4 | K | base.real | Контактная жесткость, Н/м | 1e6 |
Физическая модель
Относительное перемещение между контактирующими телами определяется выражением
\Delta x = x_2 - x_1
где:
- x_1 — перемещение узла Port1;
- x_2 — перемещение узла Port2.
Контактная деформация вычисляется как
\delta = \Delta x - Delta
где:
- \delta — деформация контактной зоны;
- Delta — начальный зазор.
Упругая область
До достижения предела текучести контакт работает как линейно-упругий элемент:
F = K \cdot \delta
при условии
F < F_{yield}
где:
- F — контактное усилие;
- K — контактная жесткость;
- F_{yield} — усилие начала пластического деформирования.
Пластическая область
После достижения усилия текучести начинается пластическое течение материала контактной зоны:
F = F_{yield}
при дальнейшем увеличении деформации.
В этой области деформация растет без увеличения контактного усилия.
Разрушение контакта
Если суммарная деформация достигает предельного значения
\delta \ge Break
контакт считается разрушенным.
После разрушения
F = 0
и дальнейшая передача усилий между телами прекращается независимо от их взаимного положения.
Итоговый закон работы
F = \begin{cases} 0, & \delta \leq 0 \\[4pt] K\delta, & 0 < \delta < dfrac{F_{\text{yield}}}{K} \\[8pt] F_{\text{yield}}, & \dfrac{F_{\text{yield}}}{K} \leq \delta < Break \\[8pt] 0, & \delta \geq Break \end{cases}