Назначение
В данном примере рассматривается простая электрическая RC-цепь с источником постоянного тока. Цель моделирования — исследовать переходный процесс при заряде конденсатора и изменение основных электрических величин во времени.
В модели используются:
- резистор R = 1\ \text{Ом};
- конденсатор C = 0.001\ \text{Ф};
- источник постоянного тока I = 1\ \text{А}.
Расчетная модель
Резистор и конденсатор соединены параллельно и подключены к источнику постоянного тока.
На управляющий вход источника подается постоянный сигнал:
I = 1\ \text{А}
В начальный момент времени конденсатор считается разряженным:
U_C(0) = 0
Рисунок 1 — Расчетная модель RC-цепи в PRADIS
Основные параметры модели:
R = 1\ \text{Ом}
C = 0.001\ \text{Ф}
I = 1\ \text{А}
Расчет переходного процесса выполняется на интервале:
t = 0 \ldots 0.01\ \text{с}
Постоянная времени RC-цепи
Для оценки скорости переходного процесса используется постоянная времени \tau. Она показывает, насколько быстро RC-цепь реагирует на изменение входного сигнала.
Для RC-цепи постоянная времени определяется как:
\tau = RC
где:
- R — сопротивление;
- C — емкость;
- \tau — постоянная времени.
Для рассматриваемой модели:
\tau = 1 \cdot 0.001 = 0.001\ \text{с}
или:
\tau = 1\ \text{мс}
Постоянная времени появляется из дифференциального уравнения, описывающего переходный процесс в RC-цепи:
RC\frac{dU_C}{dt} + U_C = IR
Коэффициент RC перед производной определяет характерную скорость изменения напряжения на конденсаторе.
Через одну постоянную времени напряжение на конденсаторе достигает примерно 63.2% установившегося значения:
U_C(\tau) \approx 0.632U_{\text{уст}}
Установившееся напряжение для данной схемы определяется как:
U_{\text{уст}} = IR
U_{\text{уст}} = 1 \cdot 1 = 1\ \text{В}
Следовательно, при t = \tau = 0.001\ \text{с} напряжение на конденсаторе должно составлять примерно:
U_C(\tau) \approx 0.632\ \text{В}
Это подтверждается результатами моделирования в PRADIS. На графике видно, что в момент времени t = 0.001\ \text{с} напряжение на конденсаторе составляет:
U_C = 0.632427\ \text{В}
Полученное значение практически совпадает с теоретическим значением 0.632\ \text{В}.
Рисунок 2 — Напряжение на конденсаторе в момент t=\tau
Таким образом, модель в PRADIS корректно воспроизводит характерный переходный процесс RC-цепи: за одну постоянную времени напряжение на конденсаторе достигает примерно 63.2% от установившегося значения.
Примерно через пять постоянных времени переходный процесс практически завершается:
t \approx 5\tau
Для данной модели:
t \approx 5 \cdot 0.001 = 0.005\ \text{с}
К этому моменту напряжение на конденсаторе достигает примерно 99.3% установившегося значения:
U_C(5\tau) \approx 0.993\ \text{В}
Результаты моделирования
После подачи постоянного тока начинается заряд конденсатора.
В начальный момент времени напряжение на конденсаторе равно нулю. Поэтому ток через резистор также равен нулю, а практически весь ток источника протекает через конденсатор.
Для схемы выполняется:
I = I_R + I_C
В начальный момент:
I_R(0) = 0
I_C(0) \approx 1\ \text{А}
По мере заряда конденсатора напряжение на нем увеличивается. Одновременно увеличивается ток через резистор, а ток через конденсатор уменьшается.
Ток через резистор определяется как:
I_R = \frac{U}{R}
По мере роста напряжения U ток I_R увеличивается и стремится к значению 1\ \text{А}.
В установившемся режиме:
I_C \rightarrow 0
I_R \rightarrow 1\ \text{А}
а напряжение на резисторе и конденсаторе стремится к:
U \rightarrow 1\ \text{В}
Рисунок 3 — Изменение токов и напряжения в RC-цепи
Анализ результатов
На полученных графиках можно проследить весь переходный процесс.
Ток через конденсатор в начале расчета имеет максимальное значение, близкое к току источника:
I_C(0) \approx 1\ \text{А}
По мере заряда конденсатора этот ток уменьшается:
I_C:\ 1 \rightarrow 0\ \text{А}
Одновременно ток через резистор увеличивается:
I_R:\ 0 \rightarrow 1\ \text{А}
Напряжение на конденсаторе возрастает от нуля и постепенно приближается к установившемуся значению:
U_C:\ 0 \rightarrow 1\ \text{В}
Результаты моделирования также позволяют проверить постоянную времени цепи. При t = 0.001\ \text{с} расчетное значение напряжения составляет 0.632427\ \text{В}, что соответствует теоретическому уровню примерно 63.2% от конечного напряжения.
При дальнейшем моделировании примерно к моменту:
t \approx 0.005\ \text{с}
напряжение на конденсаторе должно приблизиться к 0.993\ \text{В}, а ток через конденсатор — практически снизиться до нуля.
Таким образом, расчетные результаты соответствуют теоретическому поведению RC-цепи первого порядка.