В данном примере рассматривается моделирование в PRADIS движения тела, брошенного вертикально вверх.
Цель примера — показать изменение основных кинематических параметров тела под действием силы тяжести:
- координаты X;
- скорости V;
- ускорения a.
Тело получает начальную скорость, направленную вверх, после чего движется только под действием силы тяжести. Сопротивление воздуха в данной модели не учитывается.
Постановка задачи
Рассматривается тело массой:
M = 0.01\ \text{кг}
В начальный момент времени телу задается вертикальная скорость:
V_0 = 10\ \text{м/с}
Начальная координата принимается равной:
X_0 = 0\ \text{м}
На протяжении всего движения на тело действует сила тяжести, направленная вниз.
Продолжительность расчета составляет:
t_{\text{кон}} = 2.3\ \text{с}
Положительным принято направление движения вверх.
Расчетная схема в PRADIS
Для построения модели используются следующие компоненты:
- M1D1 — элемент массы;
- VN1 — задание начальной скорости;
- FG1 — источник постоянного усилия, моделирующий действие силы тяжести.
Для анализа результатов в модель также выведены:
- X — координата тела;
- V — скорость тела;
- a — ускорение тела.
Рисунок 1 — Расчетная модель вертикального движения тела в PRADIS
Параметры элемента массы M1D1:
M = 0.01\ \text{кг}
Для компонента VN1 задается начальная скорость:
V_0 = 10\ \text{м/с}
Компонент FG1 формирует постоянное усилие, соответствующее действию силы тяжести на массу 0.01\ \text{кг}.
Расчетные зависимости
Сила тяжести
Сила тяжести определяется выражением:
F_g = mg
где:
- m — масса тела;
- g — ускорение свободного падения.
Принимая:
g \approx 9.80665\ \text{м/с}^2
получаем:
F_g = 0.01 \cdot 9.80665
F_g \approx 0.09807\ \text{Н}
Сила направлена вниз, поэтому при выбранном положительном направлении вверх:
F_g = -mg
Ускорение
Согласно второму закону Ньютона:
ma = -mg
После сокращения массы получаем:
a = -g
Следовательно:
a \approx -9.80665\ \text{м/с}^2
То есть на протяжении всего свободного движения ускорение остается постоянным и направлено вниз.
Скорость тела
При постоянном ускорении скорость изменяется по линейному закону:
V(t) = V_0 - gt
Для рассматриваемой модели:
V(t) = 10 - 9.80665t
В начальный момент:
V(0) = 10\ \text{м/с}
С течением времени скорость уменьшается.
В верхней точке траектории:
V = 0
Отсюда время достижения максимальной высоты:
t_{\max} = \frac{V_0}{g}
t_{\max} = \frac{10}{9.80665} \approx 1.020\ \text{с}
После этого скорость становится отрицательной, что соответствует движению тела вниз.
Координата тела
Координата при равноускоренном движении определяется выражением:
X(t) = X_0 + V_0t - \frac{gt^2}{2}
Поскольку:
X_0 = 0
получаем:
X(t) = 10t - \frac{9.80665t^2}{2}
или:
X(t) = 10t - 4.903325t^2
Зависимость координаты от времени имеет вид параболы.
Максимальная высота
Максимальная высота определяется выражением:
H_{\max} = \frac{V_0^2}{2g}
Подставляя параметры:
H_{\max} = \frac{10^2}{2 \cdot 9.80665}
получаем:
H_{\max} \approx 5.10\ \text{м}
Таким образом, теоретически тело должно подняться примерно на 5.1\ \text{м}.
Результаты моделирования
Для анализа поведения тела были получены три графика:
- координата X(t);
- скорость V(t);
- ускорение a(t).
Изменение координаты
Рисунок 2 — Изменение координаты тела во времени
На начальном участке тело движется вверх, поэтому его координата увеличивается.
При этом скорость постепенно уменьшается под действием силы тяжести, поэтому наклон графика X(t) становится все меньше.
В области вершины траектории расчет PRADIS показывает значение порядка:
X \approx 5.1\ \text{м}
На представленном графике при:
t = 1.00625\ \text{с}
получено:
X = 5.09761\ \text{м}
В этот момент тело находится очень близко к максимальной высоте, но еще продолжает незначительно двигаться вверх.
Теоретическая вершина соответствует:
t_{\max} \approx 1.020\ \text{с}
X_{\max} \approx 5.10\ \text{м}
После достижения максимума координата начинает уменьшаться — тело переходит к падению.
График имеет характерную параболическую форму, соответствующую зависимости:
X(t) = X_0 + V_0t - \frac{gt^2}{2}
Изменение скорости
[МЕСТО ДЛЯ ГРАФИКА V]
Рисунок 3 — Изменение скорости тела во времени
На графике видно практически линейное уменьшение скорости от начального значения:
V_0 = 10\ \text{м/с}
Причиной такого поведения является постоянное отрицательное ускорение.
При:
t = 1.00625\ \text{с}
в расчете PRADIS получено:
V = 0.132058\ \text{м/с}
Таким образом, в этот момент тело еще движется вверх, но его скорость уже близка к нулю.
Нулевая скорость достигается немного позже:
t_{\max} \approx 1.020\ \text{с}
В этой точке происходит изменение направления движения.
До нее:
V > 0
и тело движется вверх.
После нее:
V < 0
и тело движется вниз.
Это хорошо видно на графике: линия скорости пересекает нулевое значение приблизительно около 1.02\ \text{с} и затем продолжает линейно уменьшаться.
К концу расчета скорость становится отрицательной, поскольку тело уже движется вниз.
Изменение ускорения
Рисунок 4 — Изменение ускорения тела во времени
В отличие от координаты и скорости, ускорение практически не изменяется на протяжении всего расчета.
В PRADIS получено:
a \approx -9.80665\ \text{м/с}^2
Например, при:
t = 1.00625\ \text{с}
расчетное значение составляет:
a = -9.80665\ \text{м/с}^2
Горизонтальный характер графика показывает, что ускорение является постоянным.
Отрицательный знак связан с выбранным направлением координат: положительным считается направление вверх, а сила тяжести действует вниз.
Важно, что в верхней точке траектории ускорение не становится равным нулю.
В момент, когда:
V = 0
ускорение по-прежнему равно:
a = -g
Именно поэтому после кратковременного достижения нулевой скорости тело начинает двигаться вниз.
Анализ движения тела
По результатам моделирования весь процесс можно разделить на три основных этапа.
1. Движение вверх
В начале расчета:
X = 0
V = 10\ \text{м/с}
a = -9.80665\ \text{м/с}^2
Начальная скорость направлена вверх, поэтому координата тела увеличивается.
Однако ускорение направлено вниз, вследствие чего скорость постоянно уменьшается.
Таким образом:
V:\ 10 \rightarrow 0
а координата:
X:\ 0 \rightarrow X_{\max}
2. Верхняя точка траектории
Приблизительно через:
t_{\max} \approx 1.020\ \text{с}
скорость становится равной нулю:
V = 0
При этом координата достигает максимального значения:
X_{\max} \approx 5.10\ \text{м}
Однако ускорение остается равным:
a \approx -9.80665\ \text{м/с}^2
Поэтому тело не остается неподвижным в верхней точке, а сразу начинает ускоряться вниз.
3. Движение вниз
После прохождения верхней точки скорость становится отрицательной:
V < 0
а координата начинает уменьшаться.
При этом ускорение продолжает действовать в том же направлении:
a = -g
Поэтому модуль скорости при падении постепенно увеличивается.
Возвращение к исходной высоте
Если сопротивлением воздуха пренебречь, время подъема и время последующего падения до исходного уровня одинаковы.
Полное время определяется как:
t_{\text{возв}} = \frac{2V_0}{g}
Для данного примера:
t_{\text{возв}} = \frac{2 \cdot 10}{9.80665}
t_{\text{возв}} \approx 2.039\ \text{с}
Следовательно, приблизительно через 2.04\ \text{с} тело вновь проходит положение:
X = 0
При отсутствии сопротивления воздуха модуль скорости в этот момент практически равен начальному:
V \approx -10\ \text{м/с}
Знак минус показывает, что движение уже происходит вниз.
На графике координаты видно, что примерно после 2.04\ \text{с} значение X становится отрицательным.
Это связано с тем, что в текущей расчетной модели не моделируется поверхность земли и столкновение тела с ней. Поэтому после прохождения исходной координаты тело продолжает свободно двигаться вниз.
Для моделирования реального падения мяча на поверхность в схему дополнительно необходимо ввести контакт с опорой и, при необходимости, учесть отскок.
Сравнение расчета PRADIS с аналитическим решением
Для заданных параметров:
V_0 = 10\ \text{м/с}
g = 9.80665\ \text{м/с}^2
аналитически получаем:
t_{\max} \approx 1.020\ \text{с}
X_{\max} \approx 5.10\ \text{м}
t_{\text{возв}} \approx 2.039\ \text{с}
Результаты моделирования PRADIS показывают то же характерное поведение.
При t=1.00625\ \text{с} были получены:
X = 5.09761\ \text{м}
V = 0.132058\ \text{м/с}
a = -9.80665\ \text{м/с}^2
То есть тело уже практически достигло вершины траектории. Скорость близка к нулю, координата близка к расчетному максимуму 5.1\ \text{м}, а ускорение сохраняет постоянное значение свободного падения.
Полученные зависимости соответствуют теоретическим:
X(t) = X_0 + V_0t - \frac{gt^2}{2}
V(t) = V_0 - gt
a(t) = -g